Calculadora de regra de três

Como montar a regra de três e saber se ela é direta ou inversa

Regra de três é uma proporção com um termo desconhecido. Você conhece duas grandezas em uma situação (3 ovos rendem 12 fatias) e uma delas na outra situação (5 ovos rendem quantas?). Antes de fazer qualquer conta, a pergunta que decide tudo é: se uma grandeza aumenta, a outra aumenta junto? Se sim, elas são diretamente proporcionais. Se uma aumenta e a outra diminui, são inversamente proporcionais.

Na direta, monta-se a proporção na ordem em que os dados aparecem: 3 está para 12 assim como 5 está para x, ou 3/12 = 5/x. Depois multiplica-se em cruz (3 × x = 12 × 5) e isola-se o x, dividindo pelo número que sobrou do lado dele: x = 60 ÷ 3 = 20.

Na inversa, a proporção não pode ser montada na ordem em que os dados aparecem: é preciso inverter uma das razões antes de multiplicar em cruz. Um jeito de não errar é pensar em produtos: 4 pedreiros × 12 dias = 6 pedreiros × x dias, e daí x = 48 ÷ 6 = 8. Faz sentido, porque mais gente na obra termina o serviço em menos tempo.

O erro clássico é tratar toda regra de três como direta. Quem monta 4/12 = 6/x para os pedreiros acha 18 dias, ou seja, conclui que contratar mais gente atrasa a obra. Sempre que o resultado contraria o bom senso, volte à pergunta do primeiro parágrafo. Na calculadora, escolha “diretamente” ou “inversamente proporcionais”, preencha três campos e deixe vazio o que quer descobrir: a incógnita pode ficar em qualquer posição.

Três problemas resolvidos passo a passo

Os três casos abaixo estão prontos na calculadora com os mesmos números; basta trocar os valores pelos seus.

Receita de bolo (regra de três simples direta)

A receita de dona Lúcia, em Goiânia, leva 3 ovos e rende 12 fatias. Ela tem 5 ovos e quer saber quantas fatias consegue.

1. Mais ovos, mais fatias: as grandezas são diretamente proporcionais.
2. Proporção na ordem dos dados: 3/12 = 5/x.
3. Multiplicação em cruz: 3 × x = 12 × 5 = 60.
4. x = 60 ÷ 3 = 20 fatias.

Pedreiros e dias de obra (regra de três simples inversa)

Seu Antônio calculou que 4 pedreiros levantam o muro em 12 dias. Se puser 6 pedreiros no serviço, em quantos dias termina?

1. Mais pedreiros, menos dias: inversamente proporcionais.
2. Em vez de 4/12 = 6/x, iguale os produtos: 4 × 12 = 6 × x (o mesmo que inverter a razão dos dias e escrever 4/6 = x/12).
3. 4 × 12 = 48, então 6 × x = 48.
4. x = 48 ÷ 6 = 8 dias. Na calculadora, marque “inversamente proporcionais” e confira.

Máquinas, dias e peças (regra de três composta)

Numa fábrica de Caxias do Sul, 5 máquinas produzem 200 peças em 8 dias. Quantas peças 10 máquinas produzem em 6 dias?

1. A incógnita está em peças: 200 na situação 1, x na situação 2.
2. Máquinas: 5 → 10. Mais máquinas, mais peças: direta, a fração fica 10/5.
3. Dias: 8 → 6. Mais dias, mais peças: direta, a fração fica 6/8.
4. x = 200 × 10/5 × 6/8 = 200 × 2 × 0,75 = 300 peças.

Na composta, cada grandeza é comparada só com a incógnita, nunca com as outras. Quem tenta comparar máquinas com dias se perde já na primeira linha.

Regra de três composta: o método linha por linha

A regra de três composta tem três ou mais grandezas, e tudo se reduz a uma multiplicação de frações. O roteiro:

1. Identifique a grandeza da incógnita e escreva o valor conhecido dela na situação 1 e x na situação 2. Ela fica de fora da comparação; é a referência.
2. Compare cada outra grandeza só com a incógnita, ignorando as demais: “se esta aumenta, a incógnita aumenta ou diminui?”. Aumenta junto: direta. Diminui: inversa.
3. Escreva a fração de cada grandeza como situação 2 sobre situação 1 (v2/v1). Se a grandeza for direta, mantenha; se for inversa, inverta e use v1/v2.
4. Multiplique o valor conhecido da incógnita por todas as frações. O resultado é x.

Um problema típico de concurso: 20 operários, trabalhando 6 horas por dia, fazem um serviço em 10 dias. Em quantos dias 15 operários, trabalhando 8 horas por dia, fazem o mesmo serviço? A incógnita está em dias.

Conta: x = 10 × 20/15 × 6/8 = 10 × 1,3333 × 0,75 = 10 dias. As duas mudanças se compensam: perder um quarto da equipe é anulado por trabalhar um terço a mais por dia. É esse o cálculo que a calculadora faz no modo “composta”: para cada grandeza você informa os dois valores e escolhe “direta” ou “inversa”, e ela monta o produto das frações e mostra cada passo.

Se uma grandeza fica igual nas duas situações (por exemplo, o mesmo número de máquinas), ela pode ser deixada de fora: a fração seria 1 e não muda nada. E se a incógnita não estiver na última grandeza da lista, não importa; a comparação é sempre com ela, onde quer que esteja.

Onde a regra de três aparece no dia a dia

Escala de mapa e planta baixa já vêm com a proporção pronta. Num desenho em escala 1:200, cada centímetro no papel vale 200 cm no terreno, então um muro de 3,5 cm na planta tem 700 cm, ou 7 metros. Câmbio funciona igual e nos dois sentidos: se o dólar está a R$ 5,20, US$ 350 custam 350 × 5,20 = R$ 1.820,00, e com R$ 1.000 no bolso você compra 1.000 ÷ 5,20 = US$ 192,31.

Na estrada, o consumo do carro é a proporção mais útil de todas. Rodou 420 km com 35 litros? Para uma viagem de 900 km, 35 está para 420 assim como x está para 900, e x = 35 × 900 ÷ 420 = 75 litros; multiplique pelo preço do litro e sai o custo da ida. Na cozinha o raciocínio é o mesmo quando a receita precisa render mais: 250 g de farinha para 12 pães viram 375 g para 18 pães.

Bula de remédio traz a dose por quilo de peso, e a conta também é uma proporção direta: a 10 mg por kg, uma criança de 18 kg receberia 180 mg. Esse é o exemplo matemático, e só isso. A dose real, o intervalo entre as tomadas e a apresentação do remédio são decisão do médico ou do farmacêutico, nunca de uma calculadora.

Toda conta de porcentagem também é uma regra de três com 100 numa das posições: 100 está para 8 assim como 4.500 está para x, e x = 360. Se você faz essa conta com frequência, a calculadora de porcentagem já traz os cinco modos prontos, inclusive desconto e variação. E em prova o assunto não escapa: ENEM e concursos disfarçam a regra de três em problema de texto sobre produção, tempo, velocidade ou consumo, e quem erra quase sempre errou na leitura da relação entre as grandezas, não na conta.